mirror of
https://github.com/kuhyx/praca_magisterska.git
synced 2026-11-10 18:07:13 +01:00
12 KiB
12 KiB
Pytanie 43: Klasyfikacja zadań szeregowania
Pytanie
"Jakie cechy zadań szeregowania wykorzystuje się do ich klasyfikacji? Omówić przykładową metodę dla wybranego problemu szeregowania."
Przedmiot: ZBOP (Zarządzanie i Badania Operacyjne w Produkcji)
📚 Odpowiedź główna
1. Notacja Graham'a (α|β|γ)
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ NOTACJA KLASYFIKACJI ZADAŃ SZEREGOWANIA │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ α | β | γ │
│ │ │ │ │
│ │ │ └── Kryterium optymalizacji │
│ │ └────── Charakterystyki zadań │
│ └────────── Środowisko maszynowe │
│ │
│ Przykład: Pm | prec, pⱼ=1 | Cmax │
│ │ │ │ │ │
│ │ │ │ └── minimalizuj makespan │
│ │ │ └── jednostkowe czasy │
│ │ └── ograniczenia kolejnościowe │
│ └── m maszyn równoległych │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
2. Pole α - Środowisko maszynowe
| Symbol | Opis |
|---|---|
| 1 | Jedna maszyna |
| P | Maszyny równoległe identyczne |
| Pm | m maszyn równoległych identycznych |
| Q | Maszyny równoległe o różnych prędkościach |
| R | Maszyny niezwiązane (unrelated) |
| F | Flow shop (linia produkcyjna) |
| Fm | Flow shop z m maszynami |
| J | Job shop |
| Jm | Job shop z m maszynami |
| O | Open shop |
JEDNA MASZYNA (1):
Job 1 ──→ ┌───┐
Job 2 ──→ │ M │ ──→ Output
Job 3 ──→ └───┘
MASZYNY RÓWNOLEGŁE (Pm):
Job 1 ──→ ┌───┐
│M1 │ ──→
Job 2 ──→ ├───┤
│M2 │ ──→ Output
Job 3 ──→ ├───┤
│M3 │ ──→
└───┘
FLOW SHOP (F):
Job 1 ──→ ┌───┐ ──→ ┌───┐ ──→ ┌───┐ ──→
│M1 │ │M2 │ │M3 │
Job 2 ──→ └───┘ ──→ └───┘ ──→ └───┘ ──→
JOB SHOP (J):
Każde zadanie ma własną trasę przez maszyny
Job 1: M1 → M3 → M2
Job 2: M2 → M1 → M3
3. Pole β - Charakterystyki zadań
| Symbol | Opis |
|---|---|
| rⱼ | Release dates (terminy dostępności) |
| dⱼ | Due dates (terminy wymagane) |
| d̄ⱼ | Deadlines (nieprzekraczalne terminy) |
| prec | Precedence constraints (kolejność) |
| pmtn | Preemption allowed (przerwanie dozwolone) |
| pⱼ=1 | Unit processing times |
| sᵢⱼ | Setup times (czasy przezbrojeń) |
| brkdwn | Machine breakdowns |
| batch | Batch processing |
4. Pole γ - Kryteria optymalizacji
| Symbol | Nazwa | Formuła |
|---|---|---|
| Cmax | Makespan | max Cⱼ |
| ΣCⱼ | Total completion time | Σ Cⱼ |
| Σwⱼ Cⱼ | Weighted completion | Σ wⱼ Cⱼ |
| Lmax | Max lateness | max(Cⱼ - dⱼ) |
| Tmax | Max tardiness | max(0, Cⱼ - dⱼ) |
| ΣTⱼ | Total tardiness | Σ max(0, Cⱼ - dⱼ) |
| ΣUⱼ | Number of tardy jobs | Σ 𝟙(Cⱼ > dⱼ) |
Cⱼ = Completion time zadania j
Lⱼ = Cⱼ - dⱼ (lateness, może być ujemne)
Tⱼ = max(0, Lⱼ) (tardiness, ≥ 0)
Uⱼ = 1 jeśli Tⱼ > 0, else 0 (unit penalty)
5. Złożoność obliczeniowa
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ ZŁOŻONOŚĆ WYBRANYCH PROBLEMÓW │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ WIELOMIANOWE (P): │
│ 1 || Cmax O(n) (dowolna kolejność) │
│ 1 || ΣCⱼ O(n log n) (SPT rule) │
│ 1 || Lmax O(n log n) (EDD rule) │
│ Pm || Cmax O(n log n) (LPT heuristic) │
│ │
│ NP-TRUDNE: │
│ 1 || ΣTⱼ NP-hard │
│ 1 || ΣwⱼCⱼ (rⱼ) NP-hard │
│ Pm || Cmax (m≥2) NP-hard (ale PTAS istnieje) │
│ Fm || Cmax (m≥3) NP-hard (flow shop ≥3 maszyny) │
│ Jm || Cmax silnie NP-hard │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
6. Przykładowa metoda: Problem 1 || ΣCⱼ
Problem
Jedna maszyna, n zadań, minimalizuj sumę czasów zakończenia
Dane:
Zadanie: J1 J2 J3 J4 J5
Czas pⱼ: 5 3 8 2 6
Metoda: SPT (Shortest Processing Time)
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ REGUŁA SPT: Szereguj zadania w kolejności rosnących pⱼ │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ Posortowane: J4(2), J2(3), J1(5), J5(6), J3(8) │
│ │
│ Harmonogram: │
│ │
│ ├──J4──┼───J2───┼─────J1─────┼──────J5──────┼────────J3────────┤
│ 0 2 5 10 16 24
│ │
│ Czasy zakończenia: │
│ C₄ = 2 │
│ C₂ = 2 + 3 = 5 │
│ C₁ = 5 + 5 = 10 │
│ C₅ = 10 + 6 = 16 │
│ C₃ = 16 + 8 = 24 │
│ │
│ ΣCⱼ = 2 + 5 + 10 + 16 + 24 = 57 │
│ │
│ Dowód optymalności: │
│ Zamiana sąsiednich i,j gdzie pᵢ > pⱼ zawsze zwiększa ΣC │
│ SPT daje globalnie optymalne rozwiązanie │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
Dlaczego SPT jest optymalne?
Dla dwóch zadań i, j:
Kolejność i→j: Cᵢ = pᵢ, Cⱼ = pᵢ + pⱼ → ΣC = 2pᵢ + pⱼ
Kolejność j→i: Cⱼ = pⱼ, Cᵢ = pⱼ + pᵢ → ΣC = 2pⱼ + pᵢ
Różnica: (2pᵢ + pⱼ) - (2pⱼ + pᵢ) = pᵢ - pⱼ
Jeśli pᵢ < pⱼ → kolejność i→j lepsza (mniejsza ΣC)
Stąd: krótsze zadania najpierw!
7. Inne klasyczne reguły
| Reguła | Problem | Opis |
|---|---|---|
| SPT | 1 || ΣCⱼ | Shortest Processing Time |
| WSPT | 1 || ΣwⱼCⱼ | Weighted SPT (wⱼ/pⱼ malejąco) |
| EDD | 1 || Lmax | Earliest Due Date |
| LPT | Pm || Cmax | Longest Processing Time (heur.) |
| Moore | 1 || ΣUⱼ | Minimalizacja spóźnionych |
| Johnson | F2 || Cmax | 2-machine flow shop |
8. Algorytm Johnsona (F2 || Cmax)
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ ALGORYTM JOHNSONA - Flow shop 2 maszyny │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ Dane: n zadań, czasy (a₁,b₁), (a₂,b₂), ..., (aₙ,bₙ) │
│ aⱼ = czas na maszynie 1, bⱼ = czas na maszynie 2 │
│ │
│ Algorytm: │
│ 1. Podziel zadania na dwa zbiory: │
│ U = {j : aⱼ < bⱼ} (krótszy czas na M1) │
│ V = {j : aⱼ ≥ bⱼ} (krótszy czas na M2) │
│ │
│ 2. Sortuj U rosnąco wg aⱼ │
│ Sortuj V malejąco wg bⱼ │
│ │
│ 3. Harmonogram: [U posortowane] ++ [V posortowane] │
│ │
│ Złożoność: O(n log n) │
│ Optymalność: gwarantowana! │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
🧠 Mnemoniki
"α|β|γ = Maszyny|Zadania|Cel":
Trzy pola notacji Graham'a
"SPT = Short First":
Najkrótsze zadania najpierw dla ΣCⱼ
"EDD = Early Due Date":
Najwcześniejszy termin najpierw dla Lmax
❓ Pytania dodatkowe
Q1: "Kiedy stosować heurystyki a kiedy optymalne?"
Odpowiedź: Optymalne (SPT, EDD, Johnson) gdy problem wielomianowy. Heurystyki (LPT, dispatching rules) dla NP-trudnych lub gdy wymagana szybkość. Metaheurystyki (GA, SA) dla trudnych instancji.
Q2: "Co to jest preemption?"
Odpowiedź: Możliwość przerwania zadania i kontynuacji później. pmtn w notacji. Upraszcza niektóre problemy (1|pmtn,rⱼ|Lmax jest P, bez pmtn jest NP-hard).
Q3: "Job shop vs Flow shop?"
Odpowiedź: Flow shop: wszystkie zadania ta sama trasa (M1→M2→...→Mm). Job shop: każde zadanie własna trasa. Job shop jest ogólniejszy i trudniejszy (silnie NP-hard nawet dla 3 maszyn).
🎯 Kluczowe punkty
- Notacja α|β|γ: Maszyny | Zadania | Kryterium
- SPT: Optymalne dla 1||ΣCⱼ, O(n log n)
- EDD: Optymalne dla 1||Lmax
- Johnson: Optymalne dla F2||Cmax
- Większość problemów NP-trudna
📖 Źródła
- Pinedo - "Scheduling: Theory, Algorithms, and Systems"
- Brucker - "Scheduling Algorithms"
- Graham et al. - "Optimization and Approximation in Deterministic Sequencing"